«Что ты несёшь? Этого не быть может!»
Моя мать.
В качестве эпиграфа я брал то, что произнесла мне мать, узнав от меня о данной нам малеханькой математической аномалии. И это конкретно аномалия. В конце концов, это противоречит основам логики. Как может сумма натуральных чисел приравниваться не лишь отрицательной величине, но ещё и отрицательной дроби? Что за дребедень?
До этого чем начать: мне указали на то, что в данной статье слово «сумма» я использую в нестандартном смысле, ибо все ряды, о которых я говорю, не стремятся естественным образом к определённому числу. Так что речь идёт о другом типе сумм, а конкретно о суммировании способом Чезаро. Для всех, кто интересуется арифметикой: суммирование по Чезаро присваивает значения неким нескончаемым суммам, которые не сходятся в обыкновенном смысле. Согласно Википедии, «сумма Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда при n, стремящемся к бесконечности». Добавлю, что в данной статье употребляется понятие счётной бесконечности, другими словами идёт речь о таком нескончаемом огромном количестве чисел, при котором, имея довольно времени, можно сосчитать до хоть какого числа огромного количества. Это дозволяет мне использовать в уравнениях некие обыденные математические характеристики, такие как коммутативность (теорема, которую я использую на протяжении всей статьи).
Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887—1920), выдающийся индийский математик.
Для тех из вас, кто незнаком с рядом, известным как суммирование способом Рамануджана (Сриниваса Рамануджан (Srinivasa Ramanujan) — выдающийся индийский математик), объясняю: такое суммирование значит, что, складывая все натуральные числа, другими словами 1, 2, 3, 4 и так дальше, прямо до бесконечности, вы получите итог −1/12. Ага, −0,08333333333.
Вы не верите мне? Читайте далее, и узнаете, как я доказываю это путём подтверждения истинности 2-ух идиентично сумасшедших утверждений:
1. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 … = 1/2
2. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4
До этого всего, расскажу о главном — о магическом преобразовании, без которого невозможны подтверждения 2-ух данных утверждений.
Возьмём ряд A, который представляет собой нескончаемое повторение 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1. Я запишу это так:
A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …
Сейчас небольшой трюк: вычту А из 1.
1 − A = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …)
Пока всё верно? Пришло время перейти к волшебству. Упростив правую часть уравнения, я получаю кое-что очень странноватое:
1 − A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 …
Не правда ли, что-то такое уже было? Подсказываю: это A. Да, в правой части уравнения оказался ряд, с которого мы начали. Сейчас я могу поменять всю правую часть на буковку A, незначительно поупражняться в применении алгебры средней школы — и опля!
1 − А = А
1 − А + А = А + А
1 = 2А
1/2 = А
Эта малая красота — ряд Гранди, нареченный в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (Guido Grandi). Вот и всё, что есть увлекательного в этом ряде, и, хотя лично для меня он самый превосходный, с ним не соединено никаких крутых историй либо открытий. Но конкретно он дозволяет выстроить подтверждение для почти всех увлекательных вещей, включая весьма принципиальное для квантовой механики и даже для теории струн уравнение. Но о этом чуток позднее. А пока перейдём к подтверждению утверждения №2: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4.
Приступим к делу так же, как и выше. Пусть мы имеем ряд B: В = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … Сейчас с сиим можно поиграть. Для начала вычтем B из A. По правилам арифметики мы получаем последующее:
A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …)
A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 …
Потом слегка перемешаем элементы, чтоб вышел ещё один увлекательный паттерн.
A − B = (1 − 1) + (−1 + 2) + (1 − 3) + (−1 + 4) + (1 − 5) + (−1 + 6) …
A − B = 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 …
И опять мы пришли к ряду, с которого начали, а так как нам уже понятно, что A = 1/2, мы, используя базы алгебры, можем окончить подтверждение нашего второго впечатлающего факта.
А − В = В
А = 2В
1/2 = 2B
1/4 = B
Вуаля! У данного уравнения нет красивого наименования, ибо понятно оно издавна, и за долгие годы почти все арифметики смогли выполнить его подтверждение, что, но не воспрепядствовало им считать это уравнение феноминальным. Вроде бы то ни было, оно потряхивало разумы учёных и даже посодействовало Эйлеру наиболее обширно подойти к решению «базельской препядствия», а также привело к исследованию принципиальных математических функций, таковых как дзета-функция Римана.
А сейчас вишенка на тортике, которую вы так длительно ожидали, — гвоздь программки. 1-ые шаги похожи на те, которые мы делали ранее: возьмём ряд C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …, а далее, как вы, может быть, додумались, вычтем C из B.
B − C = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Так как математика как и раньше идеальна, поменяем некие числа местами, чтоб получить кое-что знакомое, но, возможно, не то, о чём вы помыслили.
В − С = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) − 1 − 2 − 3 − 4 — 5 − 6 …
В − С = (1 − 1) + (−2 − 2) + (3 − 3) + (−4 − 4) + (5 − 5) + (−6 − 6) …
B − C = 0 − 4 + 0 − 8 + 0 − 12 …
В − С = −4 − 8 − 12 …
Это не то, что вы ждали, правильно? Но на данный момент вы не можете удержаться от возгласа «Вау!», ибо я готов выполнить ещё один, крайний трюк, который стоит того, чтоб им восторгаться. Может быть, вы увидели, что все числа с правой стороны кратны числу −4. Как следует, мы можем вынести этот неизменный множитель за скобки — и вновь придти к тому, с чего же начали!
В − С = −4 (1 + 2 + 3) …
B − C = −4C
B = −3C
А так как, как мы узнали ранее, B = 1/4, получаем наш магический итог:
1/4 = −3C
1/−12 = C, либо C = −1/12.
Сейчас объясню, почему этот итог важен. Во-1-х, он употребляется в теории струн. Как досадно бы это не звучало, в её начальной версии (в теории бозонных струн), а не в версии Стивена Хокинга (Stephen Hawking). К огорчению, теория бозонных струн несколько устарела, и сейчас учёные предпочитают суперсимметричную теорию струн, но начальная теория всё ещё употребляется для осознания суперструн, которые являются неотъемлемыми элементами вышеупомянутой обновлённой теории струн.
Во-2-х, суммирование по способу Рамануджана оказало огромное воздействие на развитие общей физики, в особенности при осмыслении явления, известного как эффект Казимира. Хендрик Казимир (Hendrik Casimir) предсказал, что две незаряженные проводящие пластинки, помещённые в вакуум, будут притягиваться друг к другу из-за присутствия виртуальных частиц, порождаемых квантовыми флуктуациями. Моделируя количество энергии меж пластинами, Казимир употреблял то самое уравнение, истинность которого мы лишь что обосновали. Вот почему этот итог таковой принципиальный.
Итак, вы познакомились с открытым в начале 1900-х годов суммированием по способу Рамануджана, которое, хоть и прошло 100 лет, всё ещё играет важную роль при решении заморочек в почти всех областях физики и которое, если заключать пари с малосведущими людьми, всё ещё может приносить победу.
P.S. Если у вас не пропал энтузиазм к безрассудному уравнению Рамануджана и вы желаете выяснить больше, то у меня есть вам ссылка на беседу с 2-мя физиками. Они пробуют разъяснить данное уравнение и показать его полезность и значимость. Это прекрасно, кратко и весьма любопытно.
Из серии рассказов на математические темы «Канторовский рай» («Cantor’s Paradise»).