В феврале 2020 года в интернет-издании «XX2 век» вышла статья известного блогера и популяризатора арифметики, логики и программирования Лекса Кравецкого под заглавием «Диагональный аргумент и нескончаемые огромного количества». В данной для нас статье создатель приводит достойные внимания рассуждения о природе бесконечности в арифметике и подвергает критике так именуемый диагональный аргумент (в первый раз предложенный математиком Георгом Кантором в конце XIX века) и правомочность использования данного приёма в подтверждениях математических утверждений. Статья вызвала бурную реакцию в научно-просветительском обществе, и в сегодняшнем виде предваряется замечанием редактора издания «XX2 век», в котором приводится ссылка на специально написанный математиком Данияром Шамкановым комментарий под заглавием «Тонкости бесконечностей. Ответ математика на статью Лекса Кравецкого „Диагональный аргумент и нескончаемые огромного количества“». В этом комменты Данияр Шамканов правильно отметил, что в современной арифметике употребляется система аксиом Цермело—Френкеля с теоремой выбора и на нынешний денек нет оснований считать, что в ней имеются какие-либо логические противоречия, которые были свойственны для «доверчивой» теории множеств времен Георга Кантора и на которые пробовал указывать Лекс Кравецкий. В этом же комменты даются остальные достойные внимания замечания по данному вопросцу с точки зрения современной арифметики. Но, на взор создателя данной статьи, в комменты Данияра Шамканова недостаточно тщательно рассмотрен, фактически, сам основной контраргумент Лекса Кравецкого, выдвинутый им против способа Кантора. В данной статье читателю предлагается проследить логику Кравецкого и создать выводы о правомочности использования диагонального аргумента при подтверждениях того либо другого утверждения.
Итак, в собственной статье Лекс Кравецкий, рассуждая о понятиях нескончаемого огромного количества и мощности огромного количества, утверждает последующее: если диагональный аргумент работает для подтверждения неравномощности натуральных и реальных чисел, то он работает и для самих натуральных чисел. А раз с помощью диагонального способа, утверждает дальше Лекс Кравецкий, можно обосновать неравномощность огромного количества натуральных чисел себе, то мы приходим к тривиальному противоречию, и сам способ подтверждения, а конкретно диагональный способ Кантора (он же диагональный аргумент) не быть может применен в качестве серьёзного инвентаря математика. И здесь как по мановению магической палочки рушится не лишь основополагающее основание математического анализа — несчётность огромного количества реальных чисел, — но также и подтверждение невозможности всепригодного алгоритмического определения того, остановится ли некая машинка Тьюринга, некие варианты подтверждения аксиомы Гёделя и бог известие что ещё! Но давайте разберём самый основной контраргумент Кравецкого: неравномощность огромного количества натуральных чисел себе.
Начнём с того, что Кравецкий правильно вводит почти все определения и приводит верные подтверждения неких общеизвестных рассуждений. Так, он совсем буквально воспроизводит подтверждение равномощности натурального ряда и огромного количества всех дробных (оптимальных) чисел. Также он схематично, но довольно строго воспроизводит подтверждение неравномощности натуральных и реальных чисел по Кантору. Схема ординарна: представим, что натуральные и действительные числа равномощны. Тогда можно выстроить взаимно однозначное соответствие меж всеми натуральными и действительными числами, другими словами можно перечесть без повторений одни числа с помощью остальных. Представив действительные числа (в отрезке от 0 до 1, о чём Кравецкий не упомянул в собственной статье, но мы вернёмся к этому позднее) в виде десятичной дроби с 0 в целой части и случайной нескончаемой композицией цифр опосля запятой, мы можем выстроить гипотетичную таблицу всех таковых «хвостов» десятичных дробей. Это и значит, что мы пронумеровали все такие числа. Но, применяя диагональный аргумент, а конкретно меняя каждое значение на диагонали таковой таблицы на хоть какое другое, выпишем новейшую дробь, хвост которой будет содержать эти новейшие значения на диагонали в той же последовательности. Получим, что эта десятичная дробь не может стоять ни в одной строке таблицы, другими словами мы получим противоречие с тем, что мы в самом деле перечислили все действительные числа на отрезке [0;1] в таблице. А означает начальное предположение, что мы можем выписать такую таблицу (другими словами пронумеровать действительные числа натуральными), ошибочно, и огромное количество натуральных чисел неравномощно огромному количеству реальных (крайнее сильнее). Те, кто хотят изучить это подтверждение, полностью могут прочесть эту часть статьи Лекса Кравецкого и прояснить себе этот вопросец, но создатель рекомендовал бы обратиться к пользующейся популярностью книжке известного математика Роджера Пенроуза «Новейший мозг короля». Другими словами, тут нет чудес.
Чудеса начинаются в разделе статьи Кравецкого под заглавием «Мощность огромного количества натуральных чисел не равна самой для себя». Для подтверждения утверждения, приведённого в заглавии этого раздела, Лекс Кравецкий дает последующее:
«Для натуральных чисел приписывание нуля в конце работает уже не так отлично, как для огромного количества реальных, так как позиционная запись чисел предполагает, что приписывание нуля справа от натурального числа наращивает его в 10 раз. По данной для нас причине заместо нуля будем применять «пустое пространство», которое никак не меняет число. Чтоб же на него сослаться, в тексте будет употребляться символ «_» (подчёркивание)».
Дальше Кравецкий приводит основное рассуждение:
«Представим, что мы отыскали метод сравнения натуральных чисел натуральным.
Есть, к примеру, тривиальный: каждое натуральное число сопоставляется самому же для себя. Но чтоб сущность диагонального способа легче отслеживалась, представим, что есть и остальные, и каким-то из их мы пользовались.
Тогда мы имеем нескончаемый перечень приблизительно такового вида.
1. 123
2. 57434
3. 915543
4. 7
5. …
Как и ранее, разобьём каждое число на числа и запишем всё это в таблицу.
…
Сейчас опять пойдём на искосок, меняя цифру либо символ подчёркивания в каждой ячейке на какую-то другую цифру (на символ подчёркивания поменять ничего не будем).
У нас вышло натуральное число, к примеру «3232…». Оно не может стоять в первой строке, так как его 1-ая цифра обязана была бы быть «1», а она «3», не может стоять во 2-ой, так как 2-ая цифра обязана была бы быть «7», а она — «2» и так дальше. Даже в четвёртой строке оно не может стоять, так как в четвёртой позиции у него не символ подчёркивания (оно обязано было бы кончиться уже опосля первой числа, но нет, не кончилось).
Другими словами в данной для нас таблице просто нет места для такового числа.
Какой бы метод сравнения натуральных чисел с натуральными же мы бы ни избрали, будет число, не попавшее в нумерацию!»
Таковым образом, Кравецкий «обосновал», что огромное количество натуральных чисел неравномощно себе (на 1-ый взор аналогично тому, как мы выше это сделали для множеств натуральных и реальных чисел). Наиболее того, Кравецкий дает и 2-ое подтверждение, для тех, кого смущает внедрение нижнего подчеркивания. Для этого он вводит другой метод записи натуральных чисел:
«…можно пользоваться ещё одним методом построения не имеющего номера числа: строить натуральное число не «впереди», а «сзаду».
Пусть в таблицу числа всякого из чисел вписываются в оборотном порядке — в этом случае уже сгенерированные числа в предстоящем будут оставаться на своём месте.
Это, вприбавок, дозволяет отрешиться от знака «_», который тоже мог вызывать подозрения, и применять в качестве заполнителя всё этот же «0» — ведь приписывание впереди целой части числа хоть какого количества нулей буквально так же не меняет число, как приписывание хоть какого количества нулей сзаду дробной части».
Разумеется, что и для данного построения натуральных чисел Кравецкий провёл те же рассуждения, применив диагональный аргумент и заключив, что таковой метод построения натуральных чисел приводит к неравномощности их огромного количества себе. Но правильно ли это?
С построением натуральных чисел фокуса нет. Мы вправду вправе выписать такую таблицу чисел. Воспользуемся крайним методом, который дает Лекс Кравецкий: будем добавлять нули к натуральным числам слева, которые означают, что нет вкладов в данное число от степеней 10 в десятичной системе счисления, либо, аналогично, от степеней 2 в двоичной системе счисления, выше некой степени n−1 — позиции самой крайней ненулевой числа, отсчитанной справа. Мы будем для простоты записывать числа в двоичной системе счисления, что никак не преуменьшает общности наших рассуждений. Разглядим таблицу таковых натуральных чисел, но, в отличие от метода записи их Кравецким, не будем выписывать эти числа в случайном порядке, а расположим их для начала в порядке возрастания сверху вниз:
…000
…001
…010
Так как мы расположили все числа по возрастанию, начиная с нуля, то на диагонали (и выше) стояли лишь нули, а значащие числа заполняли только нижнюю треугольную часть таблицы (по построению). Таковым образом, применяя диагональный «трюк» Кантора—Кравецкого (выписывая то, что стоит на диагонали 2-ой таблицы), мы получили из полностью определённого натурального числа …000 другую систему — ***111, в которой стоит нескончаемое число единиц. Эту систему Лекс Кравецкий, ловко оперируя термином «животрепещущая бесконечность», почему-либо тоже неявно отнёс к натуральным числам. Но это не так.
Заметим, что, располагая натуральные числа в случайном порядке, как это дает Кравецкий, и проделывая этот же диагональный трюк, мы будем получать нескончаемое количество вариантов таковых странноватых «натуральных чисел», у которых, к примеру, «сначала» стоит нескончаемая последовательность единиц, которую мы обозначили ***, а потом идёт какая-то сколь угодно большая композиция нулей и единиц, зависящая от выбора расположения натуральных чисел в таковой таблице. На самом деле, Кравецкий обосновал неравномощность натуральных чисел и некого огромного количества, включающего в себя как все натуральные числа, так и как минимум бессчетное огромное количество композиций вида ***11101010101 и т.д, но также и остальных нескончаемых слева последовательностей нулей и единиц. И нигде очевидно этого не произнес.
О чём-то таком сам Лекс Кравецкий, правда, додумывался, рассуждая в разделе «В чём здесь фокус» последующим образом:
Естественно, такое «подтверждение» работает лишь поэтому, что мы включили в рассмотрение числа, имеющие нескончаемое количество цифр в собственной десятичной записи. В том смысле, что «такие числа уже есть и уже лежат в таком-то огромном количестве».
Крайняя фраза, по Кравецкому, как раз и значит, что он желает оперировать «животрепещущей бесконечностью» огромного количества, включая в него вроде бы все вероятные композиции цифр даже формально означающие, что значение числа нескончаемо огромное. Вправду, если так создать, то такое огромное количество не будет равномощно огромному количеству натуральных чисел, и фокус здесь не в диагональном способе Кантора, а в том, чтоб по некий причине отождествить эти два огромного количества.
Сам Кравецкий, по-видимому, не увидел, как сделал обыденную логическую ошибку замены 1-го понятия остальным в процессе рассуждения. Он отождествил огромное количество натуральных чисел и объединение огромного количества натуральных чисел с ещё одним обилием с нескончаемым числом частей, представляющим любые нескончаемые композиции 0 и 1, нигде не заканчивающиеся слева нескончаемой цепочкой нулей, в том числе, включающим в себя «числа» «начинающиеся» с нескончаемого ряда единиц.
Весело, что если б дело ограничилось добавлением лишь «чисел», «начинающихся» с ***, то это не привело бы к неравномощности огромному количеству натуральных чисел, ведь подмена 0 на 1 и 1 на 0 отдала бы взаимно однозначное соответствие такового огромного количества с настоящим обилием натуральных чисел, постоянно начинающихся с …, и можно показать, что объединение 2-ух счётных множеств счётно. Но Кравецкий настаивает, что нужно разглядывать все вероятные числа с нескончаемым числом единиц слева (но необязательно заканчивающиеся слева ***), так как, по его определению животрепещуще нескончаемого огромного количества, «они уже там есть». И в таком случае, вправду, это огромное количество не будет равномощно натуральному ряду — подтверждение за авторством Лекса Кравецкого смотри выше, оно полностью верное. Но заместо этого Кравецкий почему-либо предпочитает ругать диагональный способ.
И всё же, по какой причине никто не разглядывает такие «нескончаемые натуральные числа»? Ведь в то же время для реальных чисел всё обстоит конкретно так: там рассматриваются нескончаемые композиции 0 и 1 опосля запятой (в двоичном представлении эти композиции просто означают вклады двойки в той либо другой отрицательной степени, да они убывают, но их нескончаемо много). Наиболее того, диагональный аргумент, если обобщить, как раз указывает неисчислимость конкретно различных нескончаемых последовательностей нулей и единиц натуральными числами. Так почему же для реальных чисел это всё принципиально, а натуральные числа не обобщают так, как дает Кравецкий?
Всё дело в неразличимости нескончаемо огромных чисел. Все числа, которые строит Кравецкий и которые не начинаются с … (другими словами с нескончаемого ряда нулей слева), на самом деле неразличимы и обозначаются одним знаком бесконечности ∞. Этому значку придаётся серьезный смысл: им обозначается предел строго растущей, но нигде не ограниченной сверху последовательности натуральных чисел. И конкретно в таком и лишь таком смысле им можно и необходимо оперировать. Другими словами, в известной нам арифметике полагается, что ***11101010 = ***11111111 = ***10000100 = неважно какая иная нескончаемая слева композиция 1 и 0, нигде не заканчивающаяся … = ∞. Тут символ равенства стоит лишь в том смысле, что это один и этот же предел хоть какой нескончаемой растущей и не ограниченной сверху последовательности. Это, к слову, всё весьма в духе того понятия о «потенциально нескончаемом» огромном количестве, которым так вдохновляется Лекс Кравецкий в конце собственной статьи.
А что все-таки с действительными числами? А их нескончаемые хвосты полностью различимы, и это принципиально. Вправду, разглядим все десятичные дроби на отрезке [0;1]. Исключив элементарные совпадения значений типа 0,100… и 0,011*** (в двоичной системе счисления просто приравняв их по определению, в десятичной системе это эквивалентно записи 0,500(0)=0,499(9), где скобки означают нескончаемое повторение числа в скобках справа), для всех других различных нескончаемых композиций 0 и 1 опосля запятой можно строго и совершенно точно указать их особенное пространство на числовой прямой. Наиболее того, можно если не строго вычислить расстояние меж ними, то указать малое и наибольшее расстояния, меж которыми эти два числа находятся друг от друга, для хоть какого интересующего нас наперёд данного масштаба нашей линейки. И мы можем уточнять эти расстояния для хоть какой интересующей нас точности измерения. С большущим количеством нескончаемо огромных «натуральных чисел», построенным Лексом Кравецким, такое не пройдёт: для их будет разносторонне определено расстояние меж ними (поточнее для большинства из их оно будет идиентично нескончаемым, «таковым же» нескончаемым, как и расстояние от их до хоть какого обыденного числа). Каждое действительное число различается от другого в смысле расположения на числовой прямой, и это принципиально, поэтому что даёт возможность строго найти предел нескончаемой, но ограниченной и сходящейся к лимиту последовательности реальных чисел. И это даёт возможность непротиворечиво рассуждать о границах хоть какой сходящейся последовательности реальных чисел, как тоже о реальном числе, который размещен на той же числовой оси.
Охото выразить надежду, что мой маленький комментарий посодействовал до конца понять читателям издания «XX2 век» все тонкости, связанные с подтверждением того либо другого факта через так именуемый диагональный аргумент. Выводы я предоставлю созодать самим, но, на взор создателя данной для нас статьи, контраргумент Лекса Кравецкого не контраргумент.